Tutash muhit mexanikasidan masala va mashqlar toʻplami. 1-qism. Vektor va tenzor maydon tushunchalari
Ushbu o'quv qo'llanma «Tutash muhit mexanikasi asoslari» fani bo'yicha «5140300 – Mexanika» ta’lim yo’nalishi talabalari uchun mo‘ljallangan bo‘lib, unda shu fanning namunaviy o‘quv dasturidan kelib chiqib, vektor va tenzor maydon elementlarining qisqacha nazariy asoslari, namunaviy misollar yechimlari, mustaqil ish topshiriqlari, sinov savollari, mustaqil o‘zlashtirishga oid adabiyotlar, ulardan foydalanishga oid uslubiy tavsiyalar va boshqa tarqatma materiallar keltirilgan. Bular bakalavr talabalarga shu fanni yanada chuqurroq o‘zlashtirishga yaqindan yordam beradi. Ushbu uslubiy qo‘llanmadan turdosh ixtisoslik va mutaxassisliklar talabalari, yosh ilmiy xodimlar va tadqiqotchilar ham foydalanishlari mumkin.
Asosiy mavzular
- Skalyar va vektor maydonlar. Bazis vektorlar. Vektor maydon elementlari ustida amallar. Vektorning komponentalarini almashtirish: Skalyar, vektor, maydon va tenzor tushunchalari. Tutash muhit mexanika sining tushunchalari tavsiflanishi qo‘llanilayotgan va tanlangan koordinatalar sistemasidan bog‘iq bo‘lmagan fizik miqdorlarga asoslangan. Ko‘pgina hollarda bu fizik miqdorlarni tanlangan koordinatalar sistemasiga tegishli holda o‘rganish qulay. Matematik jihatdan bunday miqdorlar tenzorlar (xususan, skalyar va vektor) deb ataladi. Har bir nuqtasida toʻla aniqlangan biror miqdorlar maydoni fazo deb ataladi. Qiymati haqiqiy sonlar bilan ifodalanuvchi miqdorlar skalyarlar deb ataladi, masalan, massa, zaryad, zichlik, temperatura, energiya, ish, hajm, bosim va boshqalar. Bunday qiymatlar maydoni skalyar maydon (masalan, zichliklar maydoni, temperaturalar maydoni va hokazo) deb ataladi. Qiymati va fazodagi yoʻnalishi bilan xarakterlanuvchi miqdorlar vektorlar deb ataladi, masalan, tezlik, tezlanish, kuch, elektr maydon kuchlanganligi va boshqalar. Boshqacha qilib aytganda, skalyarni tavsiflash uchun bitta sonning oʻzi yetarli, vektor miqdor tavsifi uchun esa uchta son zarur.
- Egri chiziqli koordinatalarni almashtirish. Skalyar va vektor maydon ning differensial xarakteristikalari.: Yuqorida biz Dekart koordinatalar sistemasida koordinatalarni almashtirish bilan tanishdik. Endi ixtiyoriy ikkita 1, 2, 3 va 1, 2, 3 koordinat sistemalari (egri chiziqli) koordinatalarini almashtirish masalasini qaraymiz. Faraz qilaylik, bu ikki sistema orasida uzluksiz, o‘zaro bir qiymatli moslik i = i(1, 2, 3), (i =1, 2, 3) mavjud bo‘lsin. Bu funksiya (moslik)ni 1, 2, 3 lar boyicha differensiallaymiz
- Egri chiziqli koordinatalarni almashtirish: Yuqorida biz Dekart koordinatalar sistemasida koordinatalarni almashtirish bilan tanishdik. Endi ixtiyoriy ikkita 1, 2, 3 va 1, 2, 3 koordinat sistemalari (egri chiziqli) koordinatalarini almashtirish masalasini qaraymiz. Faraz qilaylik, bu ikki sistema orasida uzluksiz, o‘zaro bir qiymatli moslik i = i(1, 2, 3), (i =1, 2, 3) mavjud bo‘lsin. Bu funksiya (moslik)ni 1, 2, 3 lar boyicha differensiallaymiz.
- Skalyar maydon gradiyenti. Yo‘nalish bo‘yicha hosila: Maydon nazariyasida uchta birinchi tartibli operatsiyalar qaraladi. Bu operatsiyalar (maydonning differensial xarakteristikalari) ma’lum bir matematik amallarni bajarib: skalyar miqdorni vektor miqdorga; vektor miqdorni skalyar miqdorga; vektor miqdorni boshqa vektor miqdorga aylantirish imkonini beradi. Bu operatsiyalar mos ravishda gradiyent, divergensiya va rotor (uyurma) deb ataladi. Ularning har birini qarab chiqamiz. Agar fazoning har bir r nuqtasida (r) skalyar berilgan bo‘lsa – bu skalyar maydon deyiladi. Agar fazoning har bir r nuqtasida a(r) vektor berilgan bo‘lsa – bu vektor maydon deyiladi. dr vektorga ko‘chgan d – skalyar maydon orttirmasi quyidagiga teng: grad = x ex + y ey + z ez . Gradiyent – bu vektor-differensial operator (yoki Gamil’ton operatori) hamdir, ya’ni (x, y,z) skalyar funksiya uchun = grad yoki = x ex + y ey + z ez , bunda - nabla deb o‘qiladi. Bunga ko‘ra skalyar maydon orttirmasini quyidagicha yozamiz: d = grad · dr = |grad| · |dr| · cos , bu yerda - gradiyent va dr vektorlar orasidagi burchak. Bu yerdan kelib chiqadiki, gradiyentning yo‘nalishi – bu skalyar maydonning berilgan nuqtadagi tezkor o‘sish yo‘nalishi, gradiyentning moduli – bu maydonning shu yo‘nalishdagi o‘sish tezligi.
- Vektor maydon divergensiyasi. Ostrogradskiy-Gauss teoremasi: Yuzacha vektori ΔS ≡ Δf ≡ nΔS - bu yuzaga perpendikulyar yo‘nalgan va moduli uning yuzasiga teng bo‘lgan vektor. Agar yuza yopiq sirt bo‘lsa, bu vektor n normal vektor bo‘ylab yo‘nalgan bo‘lib, u o‘ng vint qoidasi bo‘yicha yuzani aylanib o‘tuvchi yo‘nalish bilan bog‘liq vektor. r nuqtada ΔS yuzacha orqali o‘tuvchi a(r) vektor maydon-ning ΔΦ oqimi (1.1-rasm): ΔΦ = a(r) · ΔS = a(r) · nΔS. S sirt orqali o‘tuvchi a(r) vektor maydonning oqimi – bu S sirtning barcha ΔSi yuzachalari orqali o‘tuvchi maydonning oqimlari yig‘indisiga teng. da bu yig‘indi ushbu = Σ ΔSi = ∫ a(r)dS = ∫ a(r) · n dS sirt bo‘yicha integralga qaylanadi, bu yerda r - i S yuzachaning o‘rta nuqtasi. Yopiq S sirt orqali o‘tuvchi a(r) vektor maydonning S oqimi – bu S sirt bilan chegaralangan chekli V yopiq hajmning differensial kichik ΔVm hajmlari sirtlari orqali o‘tuvchi Δm oqimlar yig‘indisi bo‘lib, uni quyidagicha yozish mumkin: S = Σ Δm. Ushbu yig‘indini integral yig‘indiga aylanishi (va uning uchun m→∞ da limit mavjud bo‘lishi) uchun ΔVm hajmga mos Δm oqimlar proporsional bo‘lishi zarur. rm nuqtada a(r) vektor maydonning divergensiyasi – bu skalyar bo‘lib, u quyidagiga teng: div(a(r)) = ΔΦm / ΔVm - bu yerda rm - ΔVm hajmining o‘rta nuqtasi. Bu yerdan kelib chiqadiki, m bo‘yicha yig‘indining ΔVm →0 dagi limiti V hajm bo‘yicha olingan integralga aylanadi, ya’ni
- Vektor maydon rotori va Stoks teoremasi: Yopiq L kontur bo‘ylab a(r) vektor maydon AL sirkulyatsiyasi – bu skalyar miqdor bo‘lib, L yopiq konturni bo‘luvchi ΔSn uchastkalar vektorlarining shu uchastkalar o‘rta nuqtasi tezligi a(r) vektoriga skalyar ko‘paytmalar yig‘indisiga teng AL = Σ A(rn) · Δrn. Bu yerda yig‘indidan Δrn → 0 da limitga o‘tsak, sirkulyatsiyaning S sirt bo‘ylab integral ifodasiga kelamiz: ∫ a(r)dS. Shunday qilib, sirkulyatsiyani kontur bo‘ylab integral ko‘rinishida hamda shu konturga tortilgan sirt orqali o‘tuvchi vektor maydon rotori oqimi ko‘rinishida ifodalash mumkin ekan. Ana shu natija Stoks teoremasi deb ataladi: ∫ a(r)dr = ∫ rot a(r) · n dS. Sirt uchun normalning musbat yo‘nalishi kontur bo‘ylab o‘ng vint qoidasiga asoslangan yo‘nalish bilan bog‘liq. Vektor maydon rotori maydon komponentalaridan olingan xususiy hosilalar orqali ifodalanadi: rot a(r) = e1(∂3a2/∂x3 - ∂2a3/∂x2) + e2(∂1a3/∂x1 - ∂3a1/∂x3) + e3(∂2a1/∂x2 - ∂1a2/∂x1). Agar rot a(r) = 0 bo‘lsa, u holda bunday maydon uyurmasiz deyiladi.
- Tenzorlar ustida amallar. Tenzorning skalyar invariantlari: Ixtiyoriy bir egri chiziqli koordinatalar sistemasidan ikkinchisiga almashtirish amalga oshirilganda tenzorlar odatdagi tenzorlar deb ataladi; agar birjinsli koordina talar sistemasida almashtirish chegaralangan bo‘lsa bunday tenzorlar dekart tenzorlari deb ataladi. Agar tutash muhitlar mexanikasida maxsus va umumlshgan holatlar qaralmasa, odatda, bu fan tushunchalari dekart tenzorlari yordamida o‘rganiladi. Tenzorlarni ular bo‘ysunadigan almashtirish qonunlariga mos rangi yoki tartibiga qarab turlash mumkin. Shu nuqtai nazardan, miqdorlarni har xil rangdagi tenzorlar deb qarash qulay: skalyar – bu rangi nolga teng tenzor (30=1 komponentali); vektor – bu rangi birga teng tenzor (31=3 komponentali); 32=9 komponentali miqdor – bu rangi ikkiga teng tenzor va hokazo. Shuning uchun har xil rangli tenzorlar boʻlishi mumkin: rangi n ga teng tenzorning komponentalari soni 3n ta, bunda n – tenzorning tartibi.
- Diad, diadik va ular ustida amallar: Diad deb ikki vektorning aniqmas koʻpaytmasiga aytiladi, bunda koʻpaytiriluvchi vektorlar orasiga hech qanday belgi qoʻyilmaydi. Usbu diadni a va b vektorlarning komponentalari orqali ifodalalik: ab = a1b1e1e1 + a1b2e1e2 + a1b3e1e3 + a2b1e2e1 + a2b2e2e2 + a2b3e2e3 + a3b1e3e1 + a3b2e3e2 + a3b3e3e3. Bu ifoda to‘qqizta haddan iborat bo‘lganligi uchun u ab diadning to‘qqizhadli shakli deb ataladi.
- Kovariant hosila. Kovariant hosilaning xossalari. Kristoffel simvollarini hisoblash. Riman-Kristofel tenzori: Fundamental metrik tenzor. Kovariant va kontravariant bazis vektorlar. Bundan oldingi ma’ruzada keltirilgan mulohazalar fazoning bitta ixtiyoriy, ammo fiksirlangan nuqtasiga oid edi. Bunday mulohazalarni butun fazoga yoyish uchun nuqtaning ixtiyoriyligidan tashqari qaralayotgan fazo uchun metrika (o‘lchov) tushunchasini ham kiritish zarur bo‘ladi. Ma’lumki, fazoning metrikasi deganda odatda shu fazoda uzunlikni aniqlash usuli tushuniladi. Biror vektorning uzunligini aniqlash uchun uning o‘zini-o‘ziga skalyar ko‘paytirish yetarli, ya’ni |d r|2 = ds2 = d r · d r = di dj gij. Bu yerdagi gij bazis vektorlarining skalyar ko‘paytmasini gij lar orqali belgilaymiz, ya’ni gij = ei · ej. U holda dr vektorning uzunligi uchun |dr|2 = di dj gij.