Kompleks o’zgaruvchili funksiyalar nazaryasi

Ushbu o‘quv-uslubiy majmua “Amaliy matematika” kafedrasi tomonidan tuzilgan bo‘lib, 2023-yilda chop etilgan.“Amaliy matematika” fakulteti uslubiy Kengashining 2022-yil 25-avgustdagi 1-sonli buyrug‘i bilan tasdiqlangan “Kompleks o’zgaruvchili funksiyalar nazaryasi” fan dasturi asosida tayyorlangan bo‘lib, mazmunan umumiy va murakkab mavzularni chuqur va keng qamrovli ochib beradi. Kitobning asosiy maqsadi talabalarga kompleks o’zgaruvchili funksiyalar nazariyasi bo‘yicha nazariy bilimlar berish va ularda amaliy ko‘nikmalarni shakllantirishdan iborat. Kitobda har bir mavzu bo‘yicha nazariy qism, nazariy ma’lumotlar, asosiy teorema va lemma lar, namuvaviy yechilgan misollar, mustaqil ishlar uchun topshiriqlar hamda nazorat savollari keltirilgan. Kitob yuqori saviyadagi zamonaviy talablar asosida tayyorlangan va talabalar uchun kompleks analiz fani bo’yicha bilim va ko’nikmalarini oshirishda muhim ahamiyat kasb etadi.

Asosiy mavzular

Kompleks sonlar va ular ustida amallar. Kompleks sonning geometrik tasviri. Modul va argument haqidagi teorema. Muavr formulasi va n-tartibli ildiz chiqarish formulasi.: Ushbu mavzu kompleks sonlar, ularning algebraik shakli, geometrik tasviri, moduli va argumenti, Muavr formulasi va n-tartibli ildiz chiqarish formulalari bilan tanishishga qaratilgan. Barcha fundamental tushunchalar va ularning xossalari misollar bilan ko‘rsatib berilgan.
Kompleks sonlarning Riman sferasidagi tasviri. Cheksiz usoqlashgan nuqta.: Mavzu kompleks sonlar tekisligi, cheksiz uzoqlashgan nuqta haqida bilim hosil qilish, kompleks sonlar tekisligi va chekli radiusga ega bo’lgan Riman sferasi nuqtalari orasida o’zaro bir qiymatli moslik o’rnatish ko’nikmasini hosil qilish hamda uning xossalarini o’rgatishga qaratilgan.
Sterioografik proyeksiya formulalari.: Mavzu stereografik proyeksiya formulalari va ularning asosiy xossalari bilan tanishtirishga qaratilgan.
Uzluksizlik va tekis uzluksizlik tushunchalari. Kantor teoremasi. Geyne –Borell lemmasi.: Mavzu kompleks o’zgaruvchili funksiyasi limiti, uzluksizligi va tekis uzluksizligi haqida tushunchalar berish, ular orasidagi bog’lanishlarni tushuntirish, xossalarini o’rgatish va talabalarning matematik analizdan haqiqiy o’zgaruvchili funksiyalar haqidagi bilimlarini kompleks o’zgaruvchili funksiyalar uchun umumiylashtirish va tatbiq etishga o’rgatishga qaratilgan.
Kompleks o’zgaruvchili funksiyaning hosilasi. Hosila mavjud bo’lishining zaruriy va yetarli shartlari (Koshi-Riman shartlari).: Mavzu kompleks o’zgaruvchili funksiya orttirmasi va hosilasi tushunchasini haqiqiy o’zgaruvchili funksiya kabi kiritish, muhim farqlarni ajratish, sohada regulyar, monogen va analitik funksiya tushunchalarini berish, kompleks o’zgaruvchili funksiyaning differensiallanuvchiligini ta’minlaydigan zaruriy va yetarli shartlarni bayon qilish, talabaga bu tushunchalarni yetkazib berish, ularda komplek o’zgaruvchili funksiya differensiali, analitik, regulyar funksiyalar haqida ko’nikma hosil qilishga qaratilgan.
Analitik funksiyalar. Analitik funksiyaning haqiqiy va mavhum qismlari qo’shma garmonik funksiyalar. Analitik funksiyani berilgan haqiqiy yoki mavhum qismining koeffitsenti bo’yicha tiklash.: Mavzu talabalarga analitik funksiyaning haqiqiy va mavhum qismlari, garmonik funksiyalar, ularning qo’shma garmonik funksiyalar haqida tushuncha hosil qilish, qo’sma garmonik funksiya sifatida ifodalanuvchi haqiqiy yoki mavhum qismi orqali analitik funksiyani tiklash usulini o’rgatishga qaratilgan.
Bir yaproqlilik tushunchasi, Hosila moduli va argumentining geometrik ma’nosi. Konform akslantirish.: Mavzu hosila argumenti va modulining geometrik ma’nosi, konform akslantirish tushunchasi hamda unga oid ba’zi muhim tushunchalarni o’rgatishga qaratilgan.
Elementar funksiyalar (chiziqli, kasr-chiziqli, darajali), ko’rsatkichli, trigonometrik, eksponensial, logarifmik, Jukovskiy funksiyalari orqali konform akslantirish.: Mavzu chiziqli, kasr – chiziqli akslantirishlar va ularning asosiy xossalari, uchi cheksiz uzoqlashgan nuqtadagi burchak tushunchalarini o’rgatishga qaratilgan.
Kompleks funksiyaning integrali. Integralning mavjudlik sharti. Integralni xisoblash. Kompleks funksiya integralining xossalari.: Mavzu talabalarga kompleks funksiyaning integrali va uning xossalari bilan tanishtirish, integrallarni hisoblashni o’rgatishga qaratilgan.
Oddiy kontur uchun Koshining integral teoremasi. Murakkab kontur uchun Koshining integral teoremasi. Boshlang’ich funksiyaning mavjudligi haqidagi teorema. Nyuton-Leybnits formulasi.: Mavzu oddiy kontur uchun Koshining integral teoremasi va uning isbotini o’rgatish, misollar yechishga qaratilgan.
Darajali qatorlar. Abelning birinchi teoremasi. Koshi-Adamar formulasi. Golomorf funksiyalarni Teylor qatorlariga yoyish.: Mavzu kompleks o’zgaruvchili funksional qatorning xususiy holidan iborat darajali qator, uning yaqinlashish sohasi, yaqinlashish radiusi haqida umumiy ma’lumotlar berish, darajali qatorning yaqinlashish radiusi va yaqinlashish doirasi haqida tasdiqlarni o’rgatish va uni misollar orqali tushuntirish bilan talabada kompleks hadli darajali qator haqida bilim va ko’nikma hosil qilishga qaratilgan.
Yagonalik teoremasi. Analitik davom ettirish prinsipi. Analitik funksiyalarni darajali qatorga yoyish.: Mavzu analitik funksiyalarni darajali qatorga yoyish, Koshi tengsizligi, yagonalik teoremasi va analitik davom ettirish prinsplarini o’rgatishga qaratilgan.
Golomorf funksiyaning nollari. Loran qatorlari. Maxsus nuqtalar va ularning turlari.: Mavzu maxsuslikni yo’qotish haqidagi teoremalar, Luivill teoremasi, regulyar funksiyalarning yakkalangan maxsus nuqtalari, butun va meromorf funksiyalarni o’rgatishga qaratilgan.
Chegirmalar (qoldiqlar) nazariyasining asosiy teoremasi. Qoldiqlarni hisoblash formulalari.: Mavzu qoldiq tushunchasi. Qoldiqlar nazariyasining asosiy teoremasi. Qoldiqlarni hisoblash formulalari o’rgatishga qaratilgan.
Chegirmalar (qoldiqlar) nazariyasini aniq integrallarni hisoblashga tadbiqi. Jordan lemmasi.: Mavzu berilgan chekli oraliq va cheksiz interval bo’yicha haqiqiy funksiya integralini hisoblashga o’rgatishda Jordan lemmasidan foydalanishga qaratilgan.