Задача о принадлежности идеалу

Ushbu maqola idealga tegishlilik masalasini hal qilishga bag'ishlangan bo'lib, unda ko'p o'zgaruvchili polinomlar uchun bo'linish algoritmi ko'rib chiqiladi. Bir o'zgaruvchili polinomlar uchun bo'linish algoritmi idealga tegishlilik masalasini hal qilishda qo'llanilishi mumkin. Maqolada k[x1,...,xn] polinom halqasida bo'linish algoritmi batafsil yoritilgan, ya'ni f polinomni f = a1f₁ + … + asfs + r ko'rinishida ifodalash usuli ko'rsatilgan, bu erda a₁,...., a_s "xususiy" qismlar va r qoldiq k[x₁, ...., xn] ga tegishli. Maqolada monom tartiblash tushunchasi, leksikografik tartiblash, bo'linish algoritmining xususiyatlari va idealga tegishlilik masalasini hal qilishdagi ahamiyati ko'rsatilgan. Shuningdek, bo'linish algoritmining mukammal umumlashtirish emasligi va idealga tegishlilikning zaruriy va etarli sharti r = 0 bo'lishi muhimligi ta'kidlangan.

Asosiy mavzular

• Monom tartiblash: k[x1,....,xn] halqasida monom tartiblash - bu Z≥0^n da binar munosabat bo'lib, u quyidagi xususiyatlarga ega: (i) Z≥0^n da chiziqli tartiblash; (ii) agar α > β va γ ∈ Z≥0^n bo'lsa, α + γ > β + γ; (iii) > Z≥0^n ni to'liq tartiblaydi, ya'ni har qanday bo'sh bo'lmagan to'plamda minimal element mavjud.
• Leksikografik tartiblash: α = (a₁, ....., an), β = (β₁, ...., βn) ∈ Z≥0^n bo'lsin. Agar α - β vektorining eng chap nolga teng bo'lmagan koordinatasi musbat bo'lsa, α >lex β deymiz. x^α >lex x^β deb yozamiz, agar α >lex β bo'lsa.
• Bo'linish algoritmi: k[x1,...,xn] da bo'linish algoritmi. Z≥0^n da monom tartiblashni belgilab olamiz va F = (f₁..... fs) ni k[x1,...,xn] dan tartiblangan s-to'plam polinomlar deb olamiz. U holda har qanday f ∈ k[x1,...,xn] polinomni f = a1f₁ + … + asfs + r ko'rinishida yozish mumkin.
• Idealga tegishlilik masalasi: Agar f ni F = (f₁, ...., fs) ga bo'lganda qoldiq nolga teng bo'lsa, f ∈ <f₁, ...., fs> bo'ladi. r = 0 - bu idealga tegishlilikning etarli sharti.