O’zgarmas koeffitsiyentli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar sistemasini lagranj va koshi usullari bilan yechish

Maqolada o'zgarmas koeffitsiyentli chiziqli birjinsli differensial tenglamalar sistemasini yechishda Lagranj va Koshi usullarining afzalliklari ko'rib chiqiladi. Ushbu usullar yordamida turdosh masalalarni yechish mumkinligi ko'rsatilgan. Koshi matritsasini topish, xususiy yechimlarni aniqlash va integral hisoblash usullari bilan bog'liq masalalar yoritilgan.

Asosiy mavzular

O'zgarmas koeffitsiyentli chiziqli birjinsli differensial tenglamalar sistemasi: Ushbu sistema quyidagi ko'rinishda ifodalanadi: y' = Ay + f, bu yerda A - o'zgarmas koeffitsiyentli matritsa, f - uzluksiz funksiya.
Lagranj usuli (o'zgarmaslarni variatsiyalash usuli): Ushbu usul yordamida birjinsli sistemaning umumiy yechimini bilgan holda, birjinsli bo'lmagan sistemaning xususiy yechimi topiladi. O'zgarmas koeffitsiyentlar o'rniga funksiyalar izlanadi va algebraik sistema hosil qilinadi.
Koshi usuli: Birjinsli bo'lmagan sistemaning xususiy yechimi Koshi matritsasi orqali topiladi. Koshi matritsasi K(t - τ) dK(t)/dt = AK(t), K(0) = E matritsali Koshi masalasini yechish orqali aniqlanadi. Integral yordamida xususiy yechim topiladi.
Koshi matritsasining xossalari: Koshi matritsasi zaruriy xossalarni o'zida mujassamlashtirgan va t = 0 da birlik matritsaga aylanadi. K(t − τ) orqali sistemaning yechimi ifodalanadi.
Amaliy misol: x' = y, y' = -x + 1/sin(t) sistemasi uchun umumiy va xususiy yechimlar Lagranj va Koshi usullari bilan topiladi hamda natijalar solishtiriladi.