Differensial geometriya va topologiya I-qism
Ushbu kitob differentsial geometriya va topologiya fanini o'rganish uchun mo'ljallangan. Kitobda egri chiziqlar, sirtlar, ularning egriliklari, urinma tekisliklar va boshqa geometrik xossalari batafsil yoritilgan. Nazariy materiallar misollar bilan mustahkamlangan va har bir bob so'ngida mustaqil ishlash uchun savollar keltirilgan. Kitob oliy o'quv yurtlari talabalari, aspirantlar va ushbu fanga qiziquvchilar uchun foydali bo'lishi mumkin.
Asosiy mavzular
- Egri chiziqli koordinatalar sistemasi: Bu mavzuda egri chiziqli koordinatalar sistemasi tushunchasi, uning Dekart koordinatalar sistemasi bilan bog'liqligi, Yakobi matritsasi, koordinata chiziqlari va turli misollar (qutb, silindrik, sferik koordinatalar) ko'rib chiqiladi. Shuningdek, egri chiziqli koordinatalarda yoy uzunligini topish va Riman metrikasi tushunchasi beriladi.
- Sirt tushunchasi: Bu bobda sodda sirt tushunchasi, ochiq va bog'liq to'plamlar, soha chegarasi, gomeomorfizm, sirt tenglamasi, koordinata chiziqlari, lokal sodda sirt kabi tushunchalar kiritiladi. Lokal sodda sirtlarga misollar keltiriladi va sirtning parametrik shakldagi tenglamalari o'rganiladi.
- Silliq sirt, Urinma tekislik va normal: Silliq sirt ta'rifi beriladi va uning urinma tekisligi, normal to'g'ri chizig'i, silliqlikning etarli shartlari va regulyar sirtlar kabi xususiyatlari o'rganiladi. Shuningdek, urinma tekislik va normal to'g'ri chiziq tenglamalarini topish usullari ko'rsatiladi.
- Sirtning birinchi kvadratik formasi: Sirtning birinchi kvadratik formasi ta'rifi, uning musbat aniqlanganligi va sirt ustidagi chiziq yoyining uzunligini topishda qo'llanilishi ko'rib chiqiladi. Aylanma sirt va funksiya grafigi uchun birinchi kvadratik formalar topiladi.
- Sirtdagi chiziqlar orasidagi burchak. Sirt yuzi: Sirt ustidagi chiziqlar orasidagi burchakni aniqlash, sirt sohasining yuzini topish usullari birinchi kvadratik forma orqali ifodalanadi. Gauss egriligi tushunchasi kiritiladi va sirtning ichki geometriyasiga oid asosiy teoremalar keltiriladi.
- Sirtning ikkinchi kvadratik formasi: Ikkinchi kvadratik forma ta'rifi beriladi va sirtning ikkinchi asosiy shakli bilan bog'liqligi, normal egrilik, Men'e teoremasi kabi mavzular yoritiladi.
- Bosh yo'nalishlar va bosh egriliklar: Bosh yo'nalishlar, bosh egriliklar, egrilik chizig'i va Eyler formulasi kabi tushunchalar, ularning xossalari va topish usullari ko'rib chiqiladi. Qo'shimcha ravishda sodda misollar ko'rib chiqiladi
- Sirtning o'rta va Gauss egriliklari: Asimptotik yo'nalish va asimptotik chiziqlar, sirt nuqtalarini tekshirish, Sirtning o'rta va Gauss egriliklarini hisoblash va tahlil qilish usullari va sirt nuqtalarni tekshirish masalalari ko'rib chiqiladi
- Sirt derivatsion formulalari. Kristoffel simvollari: Sirtning derivasion formulalari, Kristoffel simvollari va ularning xossalari o'rganiladi. Tenzor belgilashlarida derivasion formulalarni ifodalash usullari ko'rsatiladi
- Sirtlar nazariyasining asosiy tenglamalari: Gauss formulasi, Peterson-Kodassi formulalari keltirib chiqariladi, ularning geometrik ma'nolari tahlil qilinadi va sirtlar nazariyasidagi ahamiyati ko'rsatiladi.
- Sirtdagi chiziqning geodezik egriligi: Sirtning ichki geometriyasi, geodezik egrilik, Kristoffel simvollari, geodezik chiziqlar va bosh normal tushunchalari bayon etiladi. Ushbu ma'lumotlar asosida hisoblash masalalari ko'rib chiqiladi.