Табиий фанларнинг замонавий боблари

Ushbu kitob matematika va fizika fanlarining integratsiyasi asosida matematik modellashtirish va hisoblash eksperimenti metodologiyasini o'rganishga bag'ishlangan. Unda chiziqli va chiziqli bo'lmagan differensial tenglamalar, ularning turli xil usullar bilan, jumladan chekli ayirmalar usuli bilan yechishga oid nazariy va amaliy jihatlar tahlil qilinadi. Kitobda fizika, kimyo va biologiyaning turli jarayonlarini modellashtirishga oid misollar keltirilgan.

Asosiy mavzular

Kirish. Matematik modellashtirish va hisoblash tajribasi.: Ushbu mavzu real obyektlarni modellashtirishning muhimligini, matematik va fizik modellar tushunchalarini, ularning tadqiqotlardagi o'rnini tushuntiradi. Misol tariqasida samolyot aerodinamikasini modellashtirish ko'rib chiqiladi. Matematik model tuzishning asosiy bosqichlari, xususan, fizika qonunlarini matematik tilga o'tkazish va tenglamalar hosil qilish jarayoni tahlil qilinadi. Tomoshabin tinglash uchun toshning erga tushishi misolidan foydalaniladi, bunda Nyuutonning tortishish qonuni va ikkinchi qonunidan foydalaniladi.
Chiziqli matematik modellarini tadqiq qilish.: Ushbu mavzu fizikaning chiziqli va chiziqli bo'lmagan jarayonlarini o'rganadi. Chiziqli modellar soddaligi tufayli keng qo'llanilishini ta'kidlaydi. Matematika va fizika fanlarining o'zaro bog'liqligi, ya'ni matematik usullarning fizik jarayonlarni o'rganishda qo'llanilishi haqida so'z yuritiladi. Misol tariqasida Neptun sayyorasining ochilishi keltiriladi. Chiziqli modellarning ahamiyati va ularning chegaralanishi ham tushuntiriladi.
Chiziqli bo'lmagan parabolik masalalarini yechishning chekli ayirma usullari.: Ushbu mavzu chiziqli bo'lmagan parabolik tenglamalarni yechishning muhimligini va qiyinligini ta'kidlaydi. Ayniqsa, haroratga bog'liq bo'lgan issiqlik o'tkazuvchanlik koeffitsientining ta'siri muhokama qilinadi. Turli xil chekli ayirma sxemalari, jumladan ochiq va yopiq sxemalar ko'rib chiqiladi va ularning qo'llanilishi, afzalliklari va kamchiliklari tahlil qilinadi.
Chiziqli bo'lmagan tenglamalar uchun chekli ayirmalar usuli bilan yechish.: Ushbu mavzu chiziqli bo'lmagan tenglamalarni yechishda chekli ayirma usullaridan foydalanishga qaratilgan. Ikkilamchi tartibli differensial tenglamalar, ularning xususiy sonlarini va tegishli chekli ayirma masalalarini hisoblash usullari tushuntiriladi. Xususan, oddiy va ayirmali sxemalar yordamida masalalarni yechish usullari ko'rib chiqiladi.
Chiziqli bo'lmagan jarayonlarni o'rganish.: Bu mavzu chiziqli bo'lmagan tenglamalar va ularning fizika, kimyo va biologiyadagi qo'llanilishini o'rganadi. Issiqlik tarqalish tenglamasini umumlashtirish, plazma, biologik tizimlar va kimyoviy reaksiylar misolida tahlil qilishga qaratilgan. Chiziqli bo'lmagan jarayonlarda kuzatiladigan turli xil effektlar, jumladan zarbali to'lqinlar va ularning shakllanishi tushuntiriladi.
Kimyodagi chiziqli bo'lmagan jarayonlarni o'rganish.: Ushbu mavzu kimyoviy jarayonlarni modellashtirishga bag'ishlangan. Xususan, kimyoviy kinetika, Bryusselator modeli va chiziqli bo'lmagan tenglamalar tahlil qilinadi. Kimyoviy reaksiya tezligini ifodalovchi tenglamalar, ularning mexanizmlari va hisoblash usullari ko'rsatiladi.
Biologiyadagi chiziqli bo'lmagan jarayonlarni o'rganish.: Bu mavzu biologiyadagi morfogenez jarayonlarini modellashtirishga bag'ishlangan. Turing modeli, aktivator-inhibitor mexanizmlari va ularning hujayralar rivojlanishidagi roli tushuntiriladi. Chiziqli bo'lmagan tenglamalar yordamida biologik tizimlarni o'rganish usullari ko'rib chiqiladi.
Ikkinchi tartibli chiziqli bo'lmagan oddiy differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalani yechishning chekli ayirma usullari.: Ushbu mavzu ikkinchi tartibli differensial tenglamalar, ularning xossalari va ularni yechish usullari haqida. Chegaraviy masalalar, xususan, xususiy sonlarni topish masalasi va ularning chekli ayirma usullari bilan yechilishi ko'rib chiqiladi. Xossa va xossa vektorlar tushunchalari kiritiladi.
Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalarga aniq ayirmali sxemalar tuzish.: Bu mavzu ikkinchi tartibli differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalarga aniq ayirmali sxemalarni tuzishga qaratilgan. Ayniqsa, ko'p qatlamli muhitlarda qo'llaniladigan tenglamalar va ularning koeffitsientlari uchun aniq ayirmali sxemalar tuzish usullari ko'rsatiladi. Ayirmali sxemalar operatorlari va ularning xossalari tahlil qilinadi.
Chiziqli va chiziqli bo'lmagan kuchirish tenglamalarini yechishning chekli ayirma usullari.: Ushbu mavzu chiziqli va chiziqli bo'lmagan kuchirish tenglamalarini, ularning turli xil fizik jarayonlarda (reaktorlardagi neytronlar, issiqlik o'tkazuvchanlik, elektronlar diffuziyasi) qo'llanilishini o'rganadi. Kushish tenglamalarini yechishda chekli ayirma usullari, jumladan, ayirmali sxemalar va ularning xossalari tahlil qilinadi. Ko'rsatkichli va xarakteristik tenglamalar ko'rib chiqiladi.
Ikkinchi tartibli chiziqli bo'lmagan differensial tenglamalar uchun xos sonlarni topishning differensial va chekli ayirma masalalari.: Bu mavzu xos sonlarni topish muammosiga bag'ishlangan. Differensial tenglamalar uchun xos sonlar va xos vektorlar tushunchalari, ularni topish usullari ko'rib chiqiladi. Ayniqsa, xos sonlarni topish uchun chekli ayirma usullarining qo'llanilishi va ularning ahamiyati tushuntiriladi.
Hisoblash tajribasi.: Ushbu mavzu hisoblash tajribasining mohiyati, bosqichlari va ahamiyatini ochib beradi. Matematik model tuzish, sonli usullarni tanlash, algoritm tuzish, EHMda hisoblashlar o'tkazish va olingan natijalarni tajriba natijalari bilan solishtirish jarayonlari tahlil qilinadi.