О гладкости обобщенных решений краевых задач для эллиптических уравнений в классах Соболева
Ushbu maqola, G chegaralangan sohada eliptik tenglamalar uchun birinchi chegaraviy masalalar uchun umumlashtirilgan yechimlarning silliqligini o'rganadi. Maqolada klassik va umumlashtirilgan yechimlar ta'riflari, shuningdek, ushbu yechimlar uchun xos bo'lgan tengliklar keltirilgan. Asosiy natija sifatida, ma'lum bir sharoitda, birinchi chegaraviy masalani umumlashtirilgan yechimi Sobolev sinflariga tegishli ekanligini ko'rsatuvchi teorema taqdim etiladi. Bu teorema Fourier multiplikatorlari teoremasidan foydalanib isbotlanadi. Maqolada shuningdek, ikkinchi va uchinchi chegaraviy masalalar uchun ham shunga o'xshash natijalar mavjudligi aytib o'tilgan.
Asosiy mavzular
- Eliptik tenglamalar uchun chegaraviy masalalar: Maqolada G chegaralangan sohada eliptik tenglamalar, xususan, birinchi chegaraviy masalalar ko'rib chiqiladi. Kiritilgan operator L va uning asosiy xossalari, jumladan, koeffitsientlarining silliqligi va ijobiy aniqlanganligi keltirilgan.
- Klassik va umumlashtirilgan yechimlar: Maqolada eliptik tenglamalar uchun klassik yechim (C²(G) ∩ C(G) sinfiga tegishli) va umumlashtirilgan yechim (H¹(G) sinfiga tegishli) tushunchalari aniqlanadi va ular o'rtasidagi bog'liqlik ko'rsatiladi. Umumlashtirilgan yechimlar uchun integral tenglik (3) bilan ifodalangan.
- Umumlashtirilgan yechimlarning silliqligi: Maqolaning asosiy natijasi bo'lgan teorema, umumlashtirilgan yechimlarning ma'lum sharoitlarda (masalan, chegaraviy ma'lumotlar va tenglama koeffitsientlarining silliqligi) Sobolev sinflariga tegishli ekanligini ko'rsatadi. Bu esa yechimning yuqori silliqligini ta'minlaydi.
- Foydalanilgan usullar: Teoremalarni isbotlashda Fourier multiplikatorlari teoremasidan va Sobolev sinflaridagi boshqa natijalardan foydalaniladi. Bu usullar differensial tenglamalar nazariyasida keng qo'llaniladi.