Self-similar solutions of a cross-diffusion parabolic system with variable density: explicit estimates and asymptotic behaviour

Ushbu maqola "Cross-diffusion parabolic system with variable density: explicit estimates and asymptotic behaviour" deb nomlanadi. Unda mualliflar, xususan, Zeldovich-Barenblatt tipidagi yechimni oʻrganishgan. Tadqiqot sekin va tez diffuziya rejimlarida oʻz-oʻziga oʻxshash yechimlarning asimptotik xatti-harakatlarini tahlil qiladi. Yechimning asimptotik koeffitsientlari ba'zi noaniq algebraik tenglamalar sistemasini qondirishi koʻrsatilgan.

Asosiy mavzular

Kirish: Maqola mualliflari degenerativ va klassik bo'lmagan ushbu turdagi tizimlar bilan bog'liq bo'lgan tenglamalarning Cauchy muammosini ko'rib chiqadilar. Ular ushbu tizimlarning asosiy xususiyatlarini, jumladan, global mavjudlik va chekli vaqtda "portlash" xususiyatlarini o'rganadilar. Shuningdek, ular oʻz-oʻziga oʻxshash yechimlar va ularning asimptotik xatti-harakatlarini oʻrganadilar.
O'z-o'ziga o'xshash tenglamalar tizimi: Ushbu bo'limda mualliflar o'z-o'ziga o'xshash tenglamalar tizimini tuzish uchun noaniq bo'linish usulini (nonlinear splitting method) qo'llashadi. Ular $u(t, x) = \bar{u}(t) w(\tau(t), r)$ va $v(t, x) = \bar{v}(t) \psi(\tau(t), r)$ ko'rinishidagi yechimlarni izlaydilar va ushbu tizim uchun mos tenglamalarni hosil qiladilar.
Sekin diffuziya holati ($m_3−i > 1 + a_i, i = 1,2$). Masalaning (1)–(2) yechimlarining aniq baholanishi: Ushbu qismda mualliflar sekin diffuziya holatini ko'rib chiqadilar va ushbu holat uchun aniq baholanishlarni taqdim etadilar. Ular $u(t, x) \le u_+(t, x) = \bar{u}(t) f(\xi)$ va $v(t, x) \le v_+(t, x) = \bar{v}(t) \phi(\xi)$ kabi baholashlarni koʻrsatib berishadi.
Tez diffuziya holati ($p_i < 0, i = 1, 2$). Masalaning (1)–(2) yechimlarining aniq baholanishi: Maqolaning bu qismi tez diffuziya holatiga bag'ishlangan. Mualliflar $p_i < 0$ va boshqa shartlar bajarilganda global yechim mavjudligini va uning $u(t, x) \ge u_-(t, x)$ va $v(t, x) \ge v_-(t, x)$ ko'rinishidagi baholanishini ko'rsatib beradilar.
Xulosalar: Yakunida mualliflar o'z-o'ziga o'xshash yechimlarning mavjudligi, ularning asimptotik xatti-harakatlari va raqamli hisoblash usullari haqida xulosalar chiqaradilar. Ular olingan natijalarning boshqa tadqiqotlar bilan qanchalik mos kelishini ta'kidlaydilar.